Czym jest pochodna?

mathematics-1044075_1280Studenci na studiach także zmierzają się z inną częścią matematyki, należącej do analizy matematycznej a mianowicie – pochodne. Pochodne są w matematyce ściśle powiązane z całkami, które są gorszą zmorą studentów niż pochodne. Pochodna jest to miara szybkości zmian wartości funkcji względem zmian jej argumentów. Aby obliczyć prostą pochodną wcale nie musimy zbytnio się męczyć, bo mamy już gotowe wzory. Dzięki wzorom jej obliczanie nie stanowi żadnego wyzwania. Gorzej jest w przypadku pochodnych złożonych, gdzie czasami trzeba użyć wielu składników, aby ją obliczyć.
Mamy do czynienia także z pochodnymi wielu zmiennych, które mają za zadanie ustalenie n-1 jej argumentów. W ten sposób traktujemy funkcję jako jedną zmienną. Pochodną względem tej jednej cząstki nazywamy pochodną cząstkową. Warto tutaj wspomnieć także o pochodnej kierunkowej, która obliczana jest w kierunku danego wektora jednostkowego. Pochodna kierunkowa to ogólne pojęcie pochodnej cząstkowej. Pochodne cząstkowe są tożsame z pochodnymi w kierunkach wektorów jednostkowych bazy układu współrzędnych.
Wróćmy jednak do pochodnej cząstkowej, aby w pełni zrozumieć pojęcie oraz dlaczego mówi się o pochodnej kierunkowej, że jest uogólnioną postacią pochodnej cząstkowej. Wykres takiej pochodnej odzwierciedla jej położenie w przestrzeni euklidesowej. Warto podkreślić, że istnieje naprawdę wiele stycznych, które do każdego punktu tej powierzchni doprowadzają odpowiednie proste. Całość można zaobserwować tworząc odpowiedni histogram. Pochodne wyższych rzędów oblicza się różniczkując znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo nazywamy mieszanymi. Uogólnione twierdzenie Schwarza mówi, że jeśli wszystkie pochodne mieszane względem pewnych zmiennych są ciągłe w danym punkcie, ich wartość zależy wyłącznie od tego, względem których zmiennych różniczkujemy i ile-krotnie, natomiast nie zależy od kolejności w jakiej przeprowadza się różniczkowania.
Jak widać liczenie pochodnych czy też potocznie nazwane różniczkowaniem nie jest w zasadzie zbyt trudne, o ile liczymy pochodnych wyższych rzędów. Pochodne wyższych rzędów posiadają dwie zmienne po których różniczkujemy, podczas gdy mamy do czynienia z pochodną prostą mamy tylko jedną zmienną po której różniczkujemy. W zasadzie jeśli zrobimy kilkanaście przykładów to wdrążamy się w dane środowisko. Nie bez powodu mówi się, że trening czyni mistrza. Tak samo jest ze zdolnością liczenia, nie rozwijana gdzieś ginie.
Kiedyś było dużo trudniej, dziś mamy nie tylko rozwinięte kalkulatory ale także odpowiednie programy. Chociażby wolfram alfa, który policzy nawet skomplikowane obliczenia. Kalkulatory techniczne mają dziś możliwość różniczkowania oraz całkowania, z pewnością przydatna funkcja. Jednak warto się nauczyć różniczkować, może część uważa, że w życiu z pewnością nie przyda się taka umiejętność, ale kto wie co będziemy robili za 10 lat. W życiu ciężko cokolwiek przewidzieć, więc zanim się obejrzymy możemy ukierunkować swoją karierę naukową w stronę matematyki.

Leave a Comment