Liczenie całek – trudna umiejętność?

integral-27277_1280Mówi się o tym, że matematyka to zmora każdego studenta na studiach. Coś w tym jest, bo idąc na studia od razu po liceum czy też technikum byliśmy przyzwyczajeni do innej matematyki a na studiach okazje się, że istnieje także ciemna strona tej dziedziny. Całki i pochodne są w matematyce czymś trudniejszym, przeznaczone tylko dla umysłów ścisłych. Aby zrozumieć matematykę od zawsze trzeba było mieć chociaż średnio rozwiniętą umiejętność logicznego myślenia oraz kombinowania. Znajomość wzorów jednak to nie wszystko, czasami trzeba jeszcze je zrozumieć. Kiedy rozwiązujemy zadanie i tak naprawdę nie wiemy dlaczego podstawiamy dane akurat do tego wzoru to kiepsko się widzi przyszłość matematyczną czy też informatyczną.
Wracając do tematu, czym są całki? Całka generalnie kojarzy się studentom z koszmarem, który wlecze się za nimi latami. Całka jest związana z pojęciem analizy matematycznej a właściwie zbioru pojęć. Całkę możemy podzielić na oznaczoną i nieoznaczoną. Jak wiemy istnieje wiele innych odmian całek, ale skupmy się na tych podstawowych. Całkę można sobie wyobrazić także jako sumy nieskończone wielu nieskończenie małych wartości. W pełni to pojęcie można zrozumieć na całkach oznaczonych, gdzie zazwyczaj granica zmierza do nieskończoności albo… w drugą stronę.
Całka oznaczona jest to pole powierzchni między wykresem funkcji f(x) a linią odciętych w pewnym przedziale [a,b]. Całka oznaczona od nieoznaczonej różni się tym, że całką oznaczoną możemy sobie policzyć pole powierzchni figur przestrzennych. Funkcja pozornie prosta może być rozumiana na wiele sposobów, tak samo jak istnieje wiele rodzajów całek. Pojęcie całki oznaczonej jest bardzo obszerne.
Całka nieoznaczona to pojęcie odwrotnej pochodnej. Co to właściwie znaczy? Otóż licząc pochodną otrzymujemy całkę, czyli licząc pochodną otrzymujemy gotową całkę. Jak całkujemy? Całkując posługując się gotowymi wzorami otrzymujemy… pochodną. Dlatego mówi się dużo o tym, że całka nieoznaczona ma wiele wspólnego z liczeniem pochodnej. Ponadto, aby obliczyć całkę oznaczoną najpierw musimy obliczyć całkę nieoznaczoną, przez co przez całe rachowanie otrzymujemy całkę oznaczoną.
Mamy także inne rodzaje całek, chociażby całkę krzywoliniową. Obszarem całkowania jest pewna krzywa. Kolejną jest całka powierzchniowa, gdzie obszarem całkowania jest powierzchnia. Dość łatwo sobie dopowiedzieć zakres całki, co mamy liczyć bo zazwyczaj cel liczenia całki zdradza nam jej nazwa. Całka podwójna, czyli krótko mówiąc jest to całka z całki. Aby obliczyć całkę podwójną należy ją doprowadzić do całki 1 stopnia a dopiero obliczyć właściwą całkę.
Samo wyznaczanie całki nie jest łatwe, dość łatwo się pomylić. Jednak mając odpowiednie wzory nie stanowi jakiegoś zadania nie do rozwiązania. Kiedy już się wkręcimy w rozwiązywanie całek świat stanie przed nami otworem. Zwykle w praktycznych problemach całkuje się numerycznie lub próbuje się sprowadzić całkę (m.in. za pomocą tzw. całkowania przez podstawienie, całkowania przez części, przekształceń algebraicznych, lub trygonometrycznych) do znanych całek, których szuka się w tablicach.
Dlaczego całkujemy? Całkujemy chociażby po to, aby uzyskać dokładniejszy wynik. Kiedyś jak nie było szybkich urządzeń liczących robiono to ręcznie, czasami prace liczenia ciągły się tygodniami.

Leave a Comment